Bài toán: Gọi $ H,O$ là trực tâm và tâm ngoại tiếp $ \Delta ABC$. Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn Euler của $ \Delta HBC$ cắt nhau tại $ \{M,N \}$. Gọi $ O^*$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $ \Delta AMN$ và $ L$ là trung điểm của $ OA$. Chứng minh rằng $ H,O^*,L$ thẳng hàng
Lời giải:
Gọi $ A’,B’,C’$ là chân đường cao đến các cạnh $ BC,CA,AB.$ $ F$ là trung điểm $ BC$ Gọi $ B’C’$ cắt $ BC$ tại $ P$ và cắt $ (O)$ tại $ B’',C’'.$ Vì $ (B,C,A’,P) =- 1,$ nên $ PB \cdot PC = PA’ \cdot PF$ $ \Longrightarrow$ $ PB’' \cdot PC’' = PA’ \cdot PF$ $ \Longrightarrow$ $ F \in \odot(A’B’'C’').$ Vì thế tâm của $ \odot(A’B’'C’')$ là đường thẳng qua vuông góc từ $ A$ đến $ B’C’$ giao với trung trực $ A’F,$ chính là trung điểm $ L$ của $ AO.$ Phép nghịch đảo $ \mathcal{I}$ tâm $ H,$ biến $ (O)$ thành đường tròn chín điểm $ \mathcal{N},$ và biến $ B’C’$ thành đường tròn ngoại tiếp $ \triangle HBC$ và $ \odot(A’B’'C’')$ thành đường tròn đi qua $ A$ và Giao điểm $M,N$ của $ \mathcal{N}$ và $ \odot(HBC),$ Là ảnh của $ A’,C’',B’'$ $ \Longrightarrow$ phép nghịch đảo tâm $ H,$ biến tâm ngoại tiếp $ L$ của $\odot (A’B’'C’')$ và tâm $ O^*$ của tam giác $ \odot(AMN)$ thẳng hàng.