Định lý Dergiades

Định lý Dergiades: Cho tam giác ABC. 3 đường tròn ωa, ωb, ωc lần lượt đi qua các cặp đỉnh B, C; C, A; A, B. Gọi D, E, F là giao điểm thứ hai của 3 đường tròn này. Đường thẳng Qua D vuông góc với AD cắt BC tại X. Tương tự xác định Y, Z. Khi đó X, Y, Z thẳng hàng.

Chứng minh:

Đặt ∠BEC = ∠BF C = α, ∠ADC = ∠AF C = β, ∠AEB = ∠ADB = γ, bán kính của ωa, ωb, ωc lần lượt tại Ra, Rb, Rc.

Ta có XB/XC = (BD · sin ∠XDB)/( CD · sin ∠XDC) = [BD · (− cos ∠ADB)]/[ CD · (− cos ∠ADC) ]= (BD · cos γ)/( CD · cos β . )

Chứng minh tương tự suy ra XB /XC · Y C/ Y A · ZA /ZB = BD/ CD · CE /AE · AF/ BF

Ta lại có BD/ CD = 2Rc sin ∠BAD /2Rb sin ∠CAD . Tương tự và áp dụng định lý Céva sin cho tam giác ABC với các đường AD, BE, CF đồng quy tại tâm đẳng phương của ωa, ωb, ωc ta thu được
BD /CD · CE /AE · AF/ BF = 1. Vậy X, Y, Z thẳng hàng