Giải bài 30 trang 161 SBT toán 9 tập 1.
Cho đường tròn tâm O bán kính 25cm. Hai dây AB, CD song song với nhau và có độ dài theo thứ tự bằng 40cm, 48cm. Tính khoảng cách giữa hai dây ấy.Bài giải:
Kẻ OE $\perp$ AB, OF $\perp$ CD. Khi đó ta có:
- E, O, F thẳng hàng.
- AE = EB = $\frac{AB}{2}$ = $\frac{40}{2}$ = 20 (đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây ấy)
- Tương tự CF = FD = $\frac{CD}{2}$ = $\frac{48}{2}$ = 24
Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông OEB, ta có:
$OE^2$ + $EB^2$ = $OB^2$
=> $OE^2$ = $OB^2$ - $EB^2$ = $25^2$ - $20^2$ = 625 - 400 = 225
=> OE = $\sqrt{225}$ = 15
Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông OFD, ta có:
$OF^2$ + $FD^2$ = $OD^2$
=> $OF^2$ = $OD^2$ - $FD^2$ = $25^2$ - $24^2$ = 625 - 576 = 49
=> OF = $\sqrt{49}$ = 7
Với hai dây AB và CD song song, ta có hai trường hợp:
- Hai dây ở vị trí như hình a:
 |
| Điểm O nằm khoảng giữa hai dây AB và CD |
Khi đó khoảng cách giữa hai dây AB và CD là 22cm.
- Hai dây ở vị trí như hình b:
 |
| Điểm O nằm khoảng ngoài hai dây AB và CD. |
Khi đó khoảng cách giữa hai dây AB và CD là 8cm.
Giải bài 31 trang 161 SBT toán 9 tập 1.
Cho đường tròn (O), các bán kính OA, OB. Trên cung nhỏ AB lấy các điểm M và N sao cho AM = BN. Gọi C là giao điểm của các đường thẳng AM và BN. Chứng minh rằng:
a) OC là phân giác của góc AOB.
b) OC vuông góc với AB.
Bài giải:
a) Kẻ OH $\perp$ AC, OK $\perp$ BC.
Ta có AM = BN nên OH = OK (hai dây bằng nhau thì cách đều tâm)
Xét hai tam giác vuông OHC và OKC có:
OC chung
OH = OK
Vậy $\Delta$ OHC = $\Delta$ OKC (cạnh huyền-cạnh góc vuông)
Suy ra $\widehat{O_1}$ = $\widehat{O_2}$ (1)
Xét hai tam giác vuông OHA và OKB có:
OA = OB = R
OH = OK
Vậy $\Delta$ OHA = $\Delta$ OKB (cạnh huyền-cạnh góc vuông)
Suy ra $\widehat{O_3}$ = $\widehat{O_4}$ (2)
Cộng (1) với (2) vế theo vế ta được
$\widehat{O_1}$ + $\widehat{O_3}$ = $\widehat{O_2}$ + $\widehat{O_4}$
Hay $\widehat{AOC}$ = $\widehat{BOC}$
Do đó OC là tia phân giác của góc AOB (đpcm)
b) Ta có tam giác AOB cân tại O có OC là tia phân giác của góc O nên OC vừa là đường cao của tam giác AOB.
Do đó OC $\perp$ AB (đpcm).
Giải bài 32 trang 161 SBT toán 9 tập 1.
Cho đường tròn tâm O, bán kính 5dm, điểm M cách O 3dm
a) Tính độ dài dây ngắn nhất đi qua M.
b) Tính độ dài dây dài nhất đi qua M.
Bài giải:
a) Dây ngắn nhất đi qua M là dây vuông góc với OM tại M. Giả sử dây đó là AB như hình vẽ. Khi đó ta có OM = 3dm, OA = 5dm
 |
| Tính độ dài dây dài nhất đi qua M. |
Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông AMO, ta có:
$AM^2$ + $OM^2$ = $OA^2$
=> $AM^2$ = $OA^2$ - $OM^2$ = $5^2$ - $3^2$ = 25 - 9 = 16
=> AM = 4
Ta có AB = 2AM (vì OM vuông góc với dây AB nên M là trung điểm của AB)
=> AB = 2.4 = 8 dm
Vậy độ dài dây ngắn nhất đi qua M là 8 dm.
b) Dây dài nhất đi qua M chính là đường kính của đường tròn (O). Do đó sẽ có độ dài là 10 dm.