Bài phương trình lượng giác có chứa tổng vô hạn

Một bạn đọc của diễn đàn toán học VN có hỏi một câu phương trình lượng giác với vế phải có chứa một tổng vô hạn.

Bài toán. Tìm một nghiệm thực của phương trình

Lời giải.

+ Điều kiện $\sin(x^2-1) \ne 1.$
+ Ta thấy $\sin x=\pm 1$ không thoả phương trình.
Vì vậy $|\sin x| < 1.$ Do đó, vế phải là tổng của một cấp số nhân $u(n)$ lùi vô hạn với $u(1)=\sin x$ và công bội $q=\sin x$.

Từ đó phương trình đã cho tương đương với
$$\frac{\sin(x^2-1)}{1-\sin(x^2-1)} \ \ \ \ \ =\ \frac{\sin x}{1-\sin x} \ \ \ \ $$ $$\Leftrightarrow \sin(x^2-1) =\sin x$$ $($do tính đồng biến trên khoảng $(-1;1)$ của hàm số $f(t)=\ \dfrac{t}{1-t}.)$
Do đề bài chỉ yêu cầu tìm $1$ nghiệm nên ta chỉ việc xét phương trình $$x^2-1=x$$ và chọn nghiệm $$x=\ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \ .$$

Theo FB MathVN. Người đăng: Mr. Math.