Giải câu trắc nghiệm lượng giác khó và 'khủng'

Một bạn đọc của diễn đàn toán học có hỏi câu trắc nghiệm lượng giác như sau:

Bài toán. Biết rằng $A=\sqrt{\cos^2x+2\sqrt{\cos^4x+3\sqrt{\cos^8x+4\sqrt{\cos^{16}x+...}}}}$
$= a \cos{bx}$ với mọi $x \in (0;\frac{\pi}{2}).\ \ $ Giá trị của $T=a+b$ là:
A. $3$
B. $4$
C. $5$
D. $6$

Dưới đây là lời giải của bạn Hồ Xuân Đức - thành viên diễn đàn toán học VN.

Lời giải.
Do $x \in (0;\frac{\pi}{2})\ \ \ $ nên ta có $A=\cos x.\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+...}}}}$
Theo công thức Ramanujan ta có:
$3=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+...}}}}$
Do đó $A=3\cos x.$ Vậy $a=3, b=1$. Suy ra $T=3+1=4$. Chọn B.

P/S: Công thức Ramanujan được chứng minh bằng giới hạn, nhưng ta có thể hình dung như sau:

Theo FB MathVn. Người đăng: MiR Math.