Giải bài toán 'gây mất ngủ' trên diễn đàn toán học

Bạn đọc D.T của diễn đàn toán học VN (fanpage) có hỏi bài toán nhị thức Newton với lời nhắn sau:
Xin chào các admin của diễn đàn, các admin giúp mình hỏi mọi người bài toán này với ạ, mình mất ngủ mấy ngày rồi. Cảm ơn các admin rất nhiều.
Đề bài toán.
Biết hệ số của $x²$ trong khai triển $(x-\dfrac{2}{x^3})^n $
là $180$. Tìm $n$.

Lời giải. (Hồ Xuân Đức, Nguyễn Quang Nhật)

Áp dụng công thức khai triển nhị thức Newton với $$ ( x-\dfrac{2}{x³} ) ^n$$ ta được số hạng tổng quát của khai triển này là $$C_n^k (-2)^k x^{n-4k}$$ Số hạng này chứa $x²$ khi và chỉ khi $$n-4k=2$$ Từ giả thiết hệ số của $x²$ bằng $180$ ta có: $$C_n^k (-2)^k=180 \ \ \ (*)$$ Từ phương trình này ta suy ra $k$ chẵn. Đặt $k=2h$, với $ h \in \mathbb{N}$.
Khi đó $n=8h+2$ nên phương trình (*) được viết lại $$C_{8h+2}^{2h} 4^h=180 \ \ (**)$$ Suy ra $h \le 3$.
Thử trực tiếp ta được $h=1$ là giá trị duy nhất thoả phương trình (**).
Vậy $n=10$.

 
Theo FB MathVn. Người đăng: Mr. Math.

Đăng nhận xét

Please Select Embedded Mode To Show The Comment System.*

Mới hơn Cũ hơn