Bài toán.
Đặt $\tan 13^\text{o}=x.$
Hãy tính $\tan 14^\text{o} \text{ theo } x.$
Lời giải.
Trước hết ta nhắc lại công thức nhân đôi đối với $\tan$ được dùng nhiều trong bài này. $$\tan 2a=\frac{2\tan a}{1-\tan^2 a}$$ Áp dụng công thức trên ta tính được
$\tan 26^\text{o}=\dfrac{2\tan 13^\text{o}}{1-\tan^2 13^\text{o}}=\dfrac{2x}{1-x^2}$
Tiếp tục nhân đôi ta có
$\tan 52^\text{o}=\dfrac{2\tan 26^\text{o}}{1-\tan^2 26^\text{o}}=\dfrac{4x-4x^3}{x^4-6x^2+1}$
Do đó
$\tan 104^\text{o}=\dfrac{2\tan 52^\text{o}}{1-\tan^2 52^\text{o}}\\=\dfrac{(8x-8x^3)(x^4-6x^2+1)}{(x^4-6x^2+1)^2-(4x-4x^3)^2}\\ =-\dfrac{8x^7-56x^5+56x^3-8x}{x^8-28x^6+70x^4-28x^2+1}. $
Mà
$\tan 104^\text{o}= \tan (90^\text{o}+ 14^\text{o})\\=-\cot 14^\text{o}=-\dfrac{1}{\tan 14^\text{o}}$
Suy ra
$\tan 14^\text{o}=-\dfrac{1}{\tan 104^\text{o}}\\=\dfrac{x^8-28x^6+70x^4-28x^2+1}{8x^7-56x^5+56x^3-8x}.$
Theo FB MathVn. Người đăng: Mr. Math.