Chứng minh f đồng biến trên K thì f'(x)≥0 ∀x∈K

Bài toán

Cho $f$ là hàm số có đạo hàm trên khoảng $K$. Chứng minh rằng:
a) Nếu $f$ đồng biến trên $K$ thì $f'(x)\ge 0, \forall x \in K.$
b) Nếu $f$ nghịch biến trên $K$ thì $f'(x)\le 0, \forall x \in K.$

(với f có đạo hàm trên khoảng K)

Lời giải

Trước hết ta nhắc lại định nghĩa "hàm số đồng biến, nghịch biến".

a) Nếu $f$ đồng biến trên $K$ thì với mỗi $x \in K$, từ $(*)$, qua giới hạn hai vế khi $\Delta x \to 0$ ta được $$\lim \limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \ge 0,$$
hay $f'(x)\ge 0, \forall x \in K.$
b) Nếu $f$ nghịch biến trên $K$ thì với mỗi $x \in K$, từ $(**)$, qua giới hạn hai vế khi $\Delta x \to 0$ ta được $$\lim \limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \le 0,$$
hay $f'(x)\le 0, \forall x \in K.$

Lưu ý: Chiều ngược lại của định lí trên không đúng.

Áp dụng

Áp dụng vào một câu trắc nghiệm (bạn đọc của fanpage Diễn đàn Toán học cung cấp).

Mệnh đề 1,2 sai; 3,4,5,6 đúng. Chọn B.

Theo SGK Toán. Người đăng: Mr. Math.