Lời giải 1. (Hồ Xuân Đức)
Điều kiện $x>1$.
Áp dụng bất đẳng thức $$ab \ \leq \ \frac{a^2+b^2}{2}$$ hai lần, ta được:
$VT=1.(x-\frac{1}{x})^\frac{1}{2}+(x-1)^ \frac{1}{2}(\frac{1}{x})^\frac{1}{2}\\ \leq \frac{1+x-\frac{1}{x}}{2}+\frac{x-1+\frac{1}{x}}{2}=x=VP$
Từ đó phương trình
$(*) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x-\frac{1}{x}&=1\\ x-1&=\frac{1}{x} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x^2-x-1=0 $
Giải phương trình bậc hai cuối cùng và để ý điều kiện $x>1$ ở đầu bài, ta được nghiệm của phương trình đã cho là $$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \ .$$ Đây chính là tỉ số vàng trong toán học.
Lời giải 2. (Gợi ý, Lưu Hoàng Khải)
Đặt $a=(x-\frac{1}{x})^\frac{1}{2}, b=(1-\frac{1}{x})^\frac{1}{2}.$
Đưa về hệ $\begin{cases} a+b&=x\\ a^2-b^2&=x-1 \end{cases}$
Dùng hằng đẳng thức $a²-b²=(a-b)(a+b)$, ta có thể dễ dàng giải hệ và tìm được nghiệm duy nhất thỏa phương trình đã cho là $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}.$
Theo FB MathVN. Người đăng: Mr. Math.