Định nghĩa cấp số nhân lùi vô hạn
Cấp số nhân vô hạn với công bội $q \in (-1;1)$ được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Tóm lại, tổng $S$ của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$ (với $|q|< 1 $) được tính theo công thức: $$S=\frac{u_1}{1-q}.$$
Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1. Tính tổng $$S=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...$$ Lời giải.
$S$ chính là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạn đầu $u_1=\frac{1}{2}$ và công bội $q=\frac{1}{2}$.
Áp dụng công thức trên ta được $$S=\frac{u_1}{1-q}=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1.$$ Minh hoạ và đoán nhận bằng hình ảnh
Ví dụ 2. Tính tổng $$S=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+...$$ Lời giải. Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với $u_1=1; q=-\frac{1}{3}$ nên $$S=\frac{1}{1+\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}.$$
Ví dụ 3. Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn $0,777...$ dưới dạng phân số.
Lời giải. Ta có $$0,777...=0,7+0,07+0,007+...\\ =\frac{7}{10}+\frac{7}{10^2}+\frac{7}{10^3} +...=\frac{\frac{7}{10}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{7}{9}.$$ Vậy $0,777...=\dfrac{7}{9}.$
Theo SGK Toán 11. Người đăng: Mr. Math.