Hai câu nguyên hàm chứa vô hạn dấu căn ở đề thi Integration Bee của MIT

Bài này sẽ giới thiệu hai câu nguyên hàm chứa vô hạn dấu căn ở đề thi Integration Bee của MIT (Mỹ). Đó là câu 2 ở đề Bee 2018 và câu 6 ở đề Bee 2020.

Đề bài

Tính các nguyên hàm sau
a) $\displaystyle I(x)= \int \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x...}}}\mathrm{d}x$
b) $\displaystyle J(x)= \int \sqrt{x \sqrt[3]{x \sqrt[4]{x\sqrt[5]{x...}}}}\mathrm{d}x.$

Lời giải

Ở cả hai bài, ta chỉ xét trên khoảng $(0;+\infty)$.

Câu a (P6 - MIT 2020)

Đưa về lũy thừa ta được $$ I(x)=\int \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x...}}}\mathrm{d}x \\ =\int x^{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{4}}x^{\frac{1}{8}}...\mathrm{d}x\\ =\int x^{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+ \frac{1}{8}+...}\mathrm{d}x.$$
Ta có $$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+ \frac{1}{8}+...=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1$$ nên $\displaystyle I(x)=\int x \mathrm{d}x =\frac{x^2}{2}+C.$

Câu b (P2 - MIT 2018)

Lời giải dưới đây là của Hoàng Bá Mạnh - thành viên Diễn đàn Toán học Việt Nam.

Vậy $J(x)=\dfrac{x^{e-1}}{e-1}+C.$

Theo MIT/FB MathVn. Người đăng: Mr. Math.