Bài toán. (Nguyễn Hoàng)
Với $n$ là số tự nhiên lớn hơn $1$ thì $n!$ có thể là số chính phương hay không?
Lời giải. (Long Tuấn)
Câu trả lời là không thể.
Trước hết ta nhắc lại định nghĩa "giai thừa": $$n!=1.2\ldots n.$$
Ta xét hai trường hợp:
+ Nếu $n$ là số nguyên tố thì rõ ràng $n!$ không phải là số chính phương.
+ Nếu $n$ là hợp số thì $n!$ chứa ít nhất $2$ thừa số nguyên tố. Gọi $p$ là ước số nguyên tố lớn nhất của $n!$.
Theo định lí Bertrand (bổ đề, định đề Bertrand), tồn tại số nguyên tố $p'$ sao cho $p < p' < 2p$.
Rõ ràng $p' > n$. Do đó $2p>n$.
Nói cách khác trong $n!$ không có ước số nào khác là bội của $p$. Do đó $n!$ không thể là số chính phương.
Theo Trao đổi Toán. Người đăng: Mr. Math.