Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Test link

Search Suggest

Lời giải bài bất đẳng thức trong đề thi đại học ở Trung Quốc 2022

Đề thi môn Toán tuyển sinh Đại học Trung Quốc năm 2022 (cao khảo 2022) tại cụm thi Hải Nam, Liêu Ninh, Trùng Khánh có câu cuối cùng là một bài toán về bất đẳng thức.

Đề bài

Với $n$ là số nguyên dương bất kì, chứng minh rằng $$\frac{1}{\sqrt{1^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{2^2+2}}+\cdots + \frac{1}{\sqrt{n^2+n}} > \ln(n+1).$$ Lưu ý: Xoay ngang màn hình điện thoại để công thức toán hiển thị đầy đủ.

Lời giải tham khảo

Trước hết, với mọi $x>1$ ta có $$x-\frac{1}{x}>2\ln x \ \ \ (*)$$ Thật vậy, dùng đạo hàm, ta dễ dàng chứng minh hàm số $f(x)=x-\dfrac{1}{x}-2\ln x$ đồng biến trên $[1;+\infty)$.

Vì vậy $f(x)>f(1)=0, \forall x>1$, tức ta có $(*)$.

Áp dụng $(*)$ cho $x=\sqrt{1+\frac{1}{k}}, k\in \mathbb{N}^*$, ta được: $$\sqrt{1+\frac{1}{k}}-\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{k}}}>2\ln\sqrt{1+\frac{1}{k}}$$ Suy ra $$\frac{1/k}{\sqrt{1+\frac{1}{k}}}>\ln(1+\frac{1}{k}) \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{k^2+k}} > \ln(\frac{k+1}{k}).$$ Từ đó $$\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k^2+k}} > \sum_{k=1}^n\ln(\frac{k+1}{k})=\ln(\frac{2}{1}.\frac{3}{2}.\cdots . \frac{n+1}{n})=\ln(n+1). $$ Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Theo QQ News. Người đăng: Mr. Math.

Đăng nhận xét