Đề bài
Với $n$ là số nguyên dương bất kì, chứng minh rằng $$\frac{1}{\sqrt{1^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{2^2+2}}+\cdots + \frac{1}{\sqrt{n^2+n}} > \ln(n+1).$$ Lưu ý: Xoay ngang màn hình điện thoại để công thức toán hiển thị đầy đủ.Lời giải tham khảo
Trước hết, với mọi $x>1$ ta có $$x-\frac{1}{x}>2\ln x \ \ \ (*)$$ Thật vậy, dùng đạo hàm, ta dễ dàng chứng minh hàm số $f(x)=x-\dfrac{1}{x}-2\ln x$ đồng biến trên $[1;+\infty)$.Vì vậy $f(x)>f(1)=0, \forall x>1$, tức ta có $(*)$.
Áp dụng $(*)$ cho $x=\sqrt{1+\frac{1}{k}}, k\in \mathbb{N}^*$, ta được: $$\sqrt{1+\frac{1}{k}}-\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{k}}}>2\ln\sqrt{1+\frac{1}{k}}$$ Suy ra $$\frac{1/k}{\sqrt{1+\frac{1}{k}}}>\ln(1+\frac{1}{k}) \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{k^2+k}} > \ln(\frac{k+1}{k}).$$ Từ đó $$\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k^2+k}} > \sum_{k=1}^n\ln(\frac{k+1}{k})=\ln(\frac{2}{1}.\frac{3}{2}.\cdots . \frac{n+1}{n})=\ln(n+1). $$ Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Theo QQ News. Người đăng: Mr. Math.